考研 数三

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考研 数三详细介绍如下,希望可以帮助到您:
一、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
1???xcos,若x?0,(1)设f(x)?? 其导函数在x=0处连续,则?的取值范围是x若x?0,??0,
(2)已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切,则b可以通过a表示为b?________.
(3)设a>0,f(x)?g(x)??22?a,若0?x?1,而D表示全平面,则I???f(x)g(y?x)dxdy=_______. ?0,其他,D
(4)设n维向量??(a,0,?,0,a)T,a?0;E为n阶单位矩阵,矩阵
T A?E???, B?E?1??T, a
其中A的逆矩阵为B,则a=______.
(5)设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若Z?X?0.4,则Y与Z的相关系数为________.
(6)设总体X服从参数为2的指数分布,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,则当n??
1n2时,Yn??Xi依概率收敛于______. ni?1
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且f?(0)存在,则函数g(x)?f(x) x
(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.
(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ]
(2)设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值,则下列结论正确的是
(A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. (B)f(x0,y)在y?y0处的导数大于零.
(C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在.
[ ]
(3)设pn??an?an2
n,qn??an?an2?n,n?1,2,?,则下列命题正确的是 (A) 若?a
n?1
?条件收敛,则?pn?1?与?qn?1?n都收敛.
(B) 若?a
n?1n绝对收敛,则?pn?1n与?qn?1n都收敛.
(C) 若?a
n?1
??n条件收敛,则?pn?1??n与?qn?1??n敛散性都不定.
(D) 若?a
n?1n绝对收敛,则?pn?1n与?qn?1n敛散性都不定. [ ]
?abb???(4)设三阶矩阵A?bab,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有 ????bba??
(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b?0.
(C) a?b且a+2b=0. (D) a?b且a+2b?0. [ ]
(5)设?1,?2,?,?s均为n维向量,下列结论不正确的是
(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks,都有k1?1?k2?2???ks?s?0,则?1,?2,?,?s
线性无关.
(B) 若?1,?2,?,?s线性相关,则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks,都有
k1?1?k2?2???ks?s?0.
(C)
(D) ?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]
(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A1={掷第一次出现正面},A2={掷第二次出现正面},A3={正、反面各出现一次},A4={正面出现两次},则事件
(A) A1,A2,A3相互独立. (B) A2,A3,A4相互独立.
(C) A1,A2,A3两两独立. (D) A2,A3,A4两两独立. [ ]
三、(本题满分8分)
f(x)?1111??,x?[,1). ?xsin?x?(1?x)2
1
2试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续.
四 、(本题满分8分)
12?2f?2fg(x,y)?f[xy,(x?y2)],求??1设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足,又222?u?v
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?2g?2g?2. 2?x?y
五、(本题满分8分)
计算二重积分
I???e
D?(x2?y2??)sin(x2?y2)dxdy.
22其中积分区域D={(x,y)x?y??}.
六、(本题满分9分) x2n
求幂级数1??(?1)(x?1)的和函数f(x)及其极值. 2nn?1?n
七、(本题满分9分)
设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件:
f?(x)?g(x),g?(x)?f(x),且f(0)=0, f(x)?g(x)?2ex.
(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程;
(2) 求出F(x)的表达式.
八、(本题满分8分)
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在??(0,3),使f?(?)?0.
九、(本题满分13分)
已知齐次线性方程组
?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn?? ?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn
其中?0,?0,?0, ?0,?a
i?1ni?0. 试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时,
(1) 方程组仅有零解;
(2) 方程组有非零解. 在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.
十、(本题满分13分)
设二次型
22f(x1,x2,x3)?XTAX?ax12?2x2?2x3?2bx1x3(b?0),
中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
(1) 求a,b的值;
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(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、(本题满分13分)
设随机变量X的概率密度为
?1
f(x)???,若x?[1,8],
?30x2
?,其他;
F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.
十二、(本题满分13分)
设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为
X~???12?
?0.30.7???,
而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
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